如果地球是方的,環球旅行該怎麼規劃?

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假如我們生活在一個立方體形狀的地球上,你該怎麼找到環球旅行的最短路徑呢?

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一直走啊走——測地線

你有沒有想過,如果地球的形狀不是球形,生活會是什麼樣子?我們總是把太陽系的平穩執行和行星旋轉對稱所帶來的緩慢而平穩的日落看成是理所當然的。球形的地球也讓我們很容易找到從A點到B點的最短路徑:沿著經過這兩點並把球體切成兩半的圓弧移動。我們使用這些稱為測地線的最短路徑來設計飛機路線和衛星軌道。

但如果我們住在一個立方體上呢?我們的世界將更加搖擺不定,我們的視野將變得彎曲,最短路徑也將更難找到。你可能不會花很多時間想象立方體上的生活,但數學家們會:他們研究在各種形狀的星球上的旅行是什麼樣子的。最近一項關於在十二面體上往返旅行的發現改變了我們幾千年來觀察物體的方式。

在給定形狀上找到最短的往返路線似乎很簡單,只需要選擇一個方向並沿著直線一直走下去,最終你會回到起點,對吧?然而,這取決於你在什麼形狀的物體表面旅行。如果是球體,OK沒問題。(我們這裡忽略了這樣一個事實:地球不是一個完美的球體,它的表面也不完全是光滑的。)在球體上,徑直路徑是沿著“大圓弧”,也就是像赤道一樣的測地線。如果你繞赤道走一圈,大約2.5萬英里後,你會繞完一圈,最後剛好回到起點。

在一個立方體的世界裡,測地線就不那麼明顯了。在單獨一個面上很容易能找到一條徑直路徑,因為每個面都是平的。但如果你在一個立方體的世界裡行走,當你到達邊緣時,你如何繼續“直”走呢?

立方體上的螞蟻

有一個有趣的古老數學問題回答了我們的疑問。假如在立方體的一個角落有隻螞蟻,而它想要到達另一個角落。那麼立方體表面上從A到B的最短路徑是什麼?

你可以想象出螞蟻可以選擇的很多不同的路徑。

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來源:Samuel Velasco/Quanta Magazine

但是哪一條路徑最短呢?有一種巧妙的方法可以解決這個問題。我們把立方體壓平!

如果立方體是紙做的,你可以沿著邊緣剪開,然後把它壓平,得到一個像這樣的“格網”。

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在這個平坦的世界裡,從A到B的最短路徑很容易找到:只需要在它們之間畫一條直線

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為了看看我們的立方體世界的測地線是什麼樣的,只要把立方體重新拼在一起。這就是我們的最短路徑。

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將立方體展平是可行的,因為立方體的每個面本身都是平的,所以當我們沿著邊展開時,沒有什麼會被扭曲。(類似這樣“展開”一個球體的嘗試卻是行不通的,因為我們無法在不扭曲它的前提下將其展平。)

現在,我們已經對立方體上的徑直路徑有了一定的瞭解,讓我們重新考慮一下我們是否可以沿著任何一條徑直路徑行走,並且最終回到起點。顯然,與在球體上行走不同,在立方體上並不是每條徑直路徑都能夠往返走個來回。

往返的路徑是存在的——但是有一個條件。注意,螞蟻可以沿著我們上面繪製的路徑繼續前進,並最終回到它開始的地方。在一個立方體上,繞一圈後產生的路徑看起來更像一個菱形。

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沿著這條往返路徑,螞蟻必須經過另一個頂點(點B),之後才能回到起點。這就是問題所在:每條從同一個頂點開始和結束的徑直路徑都必須經過立方體的另一個頂點

翻滾吧,路徑

上面的結論對於5個正多面體(Platonic solids,也稱柏拉圖多面體)中的4個是成立的。在立方體、正四面體、正八面體正二十面體上,任何從同一個頂點開始和結束的徑直路線都必須經過另一個頂點。數學家們五年前就證明了這一點,但正十二面體並沒有位列其中。我們稍後再講這個。

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為了理解為什麼對於5個正多面體中的4個而言,這個有關測地線的事實是正確的,我們將採用“翻滾”的方法來研究這些路徑,我們將切換到一個四面體世界,這樣能更容易研究翻滾的路徑。

假設從一個四面體的頂點出發,沿著一個面沿著一條直線前進。我們確定一下四面體的方向,規定路徑從底面開始。

當我們遇到一條邊的時候,我們會把這個四面體“翻轉”過來,這樣我們的路徑就會繼續保持在底部的面上:

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這張翻轉的圖表給了我們提供了一種追蹤路徑的方法,就像我們在立方體的格網上做的那樣:

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上面的翻滾路徑代表了四面體表面的路徑:

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這裡四面體的五次翻滾對應於路徑穿過的額外的五個面。

現在我們可以把四面體表面上的任何路徑想象成這個翻滾空間中的路徑。我們稱起點為點A,看看這個點經過一些翻轉後,最終落在哪裡。

當我們的路徑離開A時,四面體就會滾到另一邊。這會讓A離開地面。

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頂點A暫時懸浮在翻滾空間中。在建立翻滾空間時,我們通常不會指明點A的位置,但如果我們向下看的話,它就會出現在這裡。

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隨著路徑的繼續延伸,四面體再次翻滾。它可能有兩個方向,但任何一個方向A都會回到地面。

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當我們讓這個四面體向每個可能的方向翻滾時,我們最終得到一個像這樣的翻滾空間:

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四面體的等邊三角形面組合在一起構造了一個網格系統。

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這個網格系統告訴我們關於翻滾空間的兩件有趣的事情。第一,四面體的頂點能落到的點都是“格點”,或者說是具有整數座標的點。這是因為座標系中的一個單位是四面體的一條邊長。

第二,我們來看看A點最後會到哪裡。A的座標總是偶數。當A在底面上時,它將在兩次翻滾後回到地面,所以點A在每個翻滾方向上可能的著陸點都間隔兩個邊緣長度。

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現在我們來看看這對測地線來說意味著什麼。回想一下,四面體上以點A為起止點的路徑在翻滾空間中都是在(0,0)處的A點開始,在另一個A點結束的直線段。並且當路徑的起止點都是A點時,這些路徑的中點會存在一些很有趣現象。

即使在彎曲座標系中,標準中點公式仍然成立,因此我們可以對端點座標求平均值來得到中點的座標。由於起點的座標都是0,終點的座標都是偶數,所以中點的座標都是整數。這意味著中點都是格點,因此正如我們在前面觀察到的,它對應於翻滾空間中三角形的頂點。

例如,從(0,0)到(4,2)的路徑的中點(2,1),這是網格中的一個格點。

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這意味著在四面體的表面上,這條從A到自身的路徑必須經過另一個頂點。

由於在這個系統中A的每個可能的著陸點都有偶數座標,所以以A為起止點的每條測地線路徑的中點都對應一個格點。這表明四面體表面上從A到A的每一條測地線都必須經過另一個頂點。

這是在2015年數學家戴安娜·戴維斯(Diana Davis)、維克多·多茲(Victor Dods)、辛西婭·特勞布(Cynthia Traub)和傑德·楊(Jed Yang)所給出的嚴格的論證的一個簡單版本。他們用了一個相似但更加複雜的過程論證了同樣的情況對於立方體也成立。在第二年德米特里·富克斯(Dmitry Fuchs)證明了這一結果對於正八面體和正二十面體同樣成立。正因如此,我們知道對於正四面體,立方體,正八面體和正二十面體而言,不存在以某個頂點為起止點但不經過另一個頂點的徑直路線。

但在2019年之前,正十二面體表面是否存在這樣的路徑一直是一個懸而未決的問題,直到數學家賈亞德夫·阿特里亞(Jayadev athrya)、大衛·奧利奇諾(David Aulicino)和帕特里克·胡珀(Patrick Hooper)證明了這實際上是可能的。事實上,他們在十二面體的表面上發現了無窮多條以某個頂點為起止點但不經過其他頂點的徑直路線

這是一條在十二面體的網格上顯而易見的徑直路線。

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幾千年來,人們一直把正多面體放在一起討論研究,因為它們有很多共同之處。但現在我們對正十二面體有了新的認識,這顯然是不同的。這個不可思議的發現表明,無論我們對數學物件的理解有多透徹,總有更多的東西需要學習。它還表明,從問題到解決方案的路徑並不總是像一條直線

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下面給大家幾個小練習

1. 如果立方體的邊長為1,螞蟻從頂點到相對頂點的最短路徑是多長?

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路徑是一個直角邊長分別為1和2的直角三角形的斜邊。通過勾股定理可以計算得到AB長度為如果地球是方的,環球旅行該怎麼規劃?

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2. 解釋為什麼下面的圖表不能是立方體上的路徑的翻滾路徑。

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如果一條路徑要求立方體先向右翻轉兩次,那麼它的“斜率”最多是每向上移動一個立方體邊長並向右移動兩個立方體邊長。在第一次翻滾之後,這條路徑所能到達的最高位置是側邊的一半(1.5倍立方體邊長),而這也要求下一次翻滾是向右的。這讓我們對為什麼立方體的翻滾路徑比正四面體的更復雜有了一些瞭解。

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3.立方體的翻轉路徑的一個複雜之處在於,點A並沒有一個唯一的端點位置與立方體上的給定端點位置相關聯。

例如,即使立方體最終沿著紅色或藍色路徑移動到相同的位置,點A最終也會處於不同的位置。請你確定一下A沿著紅色路徑和藍色路徑翻轉後的終點在哪裡。

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用魔方或骰子來表演是很有幫助的。還要注意的是,藍色的路徑不能是立方體上路徑的翻滾路徑。

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4.這是立方體路徑的一個有效的翻滾路徑。畫出從A開始的立方體表面上的路徑。

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作者:Patrick Honner

翻譯:C&C

審校:Dannis

原文連結:

https://www.quantamagazine.org/the-crooked-geometry-of-round-trips-20210113/

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【互動問題:你知道有哪些證據能說明地球是球形的呢?】

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編輯:Dannis

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