教你用最簡單的方法來計算原子彈威力,連公式都不用

話說1945年7月16日,老美通過曼哈頓計劃,在新墨西哥成功爆炸了第一顆原子彈,這樣重要的核試驗有個最關鍵的資料就是,此次核爆的TNT當量大概是多少。當時曼哈頓陣營裡有個大牛叫費米,他在現場只通過扔了一把紙片就大致估算到了爆炸當量。但是當時原子彈的研製仍然是絕密,首次核爆的當量引數更是最高的保密級別,費米作為曼哈頓計劃的核心科學家,自然是不可能當時就把這樣的資料公佈出去的。

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曼哈頓計劃的產物

可是美國人還是有點不甘寂寞,1947年,他們公佈了當時核爆瞬間的一系列帶有時間戳的照片。老美當時目的應該是要給老蘇一個警示,告訴他老子手裡有原子彈,威力很大,想放幾顆就放幾顆。你還沒有這玩意,最好安分一點。可是萬萬沒想到,就是老美這看似人畜無害的照片,洩露了這個最大的機密。有科學家僅僅就根據這幾張照片就估算出了這顆原子彈的爆炸當量。把老美氣個半死。

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費米大師

這位偉大的科學家就是英國的科學家G. I. Taylor,他用了一個簡單的辦法就破解了老美的所謂絕密訊息。

從我們接觸到科學領域開始,無論是物理,還是化學,都有一個完美而可靠的定律在指引著我們前進,這就是質量守恆定律。啊,這個定律無數次在學生時代做題迷茫的時候給了我們靈感。比如,你做實驗的時候如果反應之前的質量是100克,反應之後的產物你怎麼測量都只有95克,那不用說了,你肯定還有物質沒有測量到,你必須要確保反應之前的物質總質量和反應完成之後的總質量相等,這才算是完成實驗資料的初步分析,否則,你就一定得不到正確的結果。

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破解原子彈威力的人 泰勒

然而守恆定律可不僅僅在質量,能量上成立,在某些科學家們千方百計總結出來的公式上一樣嚴格遵守著守恆關係,這就是量綱守恆關係。

拿牛頓的第二定律來說,F=ma。右邊的m質量單位是kg,a加速度的單位是m/s²,於是兩個量乘起來的單位就是kg·m/s²,這個單位有點複雜,於是物理學界就用牛爵士的大名作為力的單位N,1N就是1kg·m/s²。在這裡呢,我們可以稱為加速度a的量綱是長度/時間的平方。而作用力的量綱是質量乘長度/時間的平方。

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牛頓第二定律的量綱分析

再比如一個運動物體動能的公式是E=1/2mV²,那麼能量E的單位就是kg·m²,這個單位也不好記,於是我們取了個名字叫焦耳J。

看了上面的例子,你覺得好像也沒啥大不了的啊,不就是在定義各種物理量嗎?這些工作不是早就有很多大神們做過了嘛。

我們在具體某些問題上推導公式的時候,比如上面的E的推導過程,公式裡計算推導過程複雜,可能一不小心就會出錯。那麼在你推導過程中,不妨停下來,分析一下等式的右邊是不是滿足關於E的量綱是否正確,如果你發現,嗯?怎麼這裡不是kg·m²,那毫無疑問,你在這一步的推導就肯定是錯誤的,你必須要修改直到滿足能量E的量綱為止。

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Edgar_Buckingham

我們把上面的分析過程叫作量綱分析,這在物理學上是一個很有用的研究方法。1914年, 美國物理學家白金漢(Edgar_Buckingham,跟白金漢宮沒有半毛錢關係,這個名字真牛)總結了關於量綱分析的重要定律,我們現在叫作白金漢π定律(怎麼又跟π有關係?)。在這個定理中,白金漢給出了這樣的結論:

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白金漢π定理定義

大家不要被定理的描述嚇到。尤其是最後的(1)式,白金漢從理論上證明了這個式子的正確性,深刻揭示了一個系統的物理關係式。只要把影響系統某個物理量的全部基本量綱列舉出來,那麼這個物理量與這些基本量綱之間就存在(1)的關係式。動能定理如此,力的表示式也是如此。在物理學上,目前只有7個基本量綱,也就是說任何一個複雜的物理系統,背後都是這7個量綱在相互作用。這7個量綱分別是長度L,質量M,時間T,電流I,溫度Θ,物質的量N,發光強度J。

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核爆瞬間

白金漢π定理在某些用常規分析難以得到具體等量關係的場合往往會起到奇效,你看這個(1)式就是一個很普通的冪齊次方程,這裡即沒有複雜的微分表示式,也沒有困難的表示方法。它就是如此簡單,卻如此通用。

這個定理如此神奇,下面來說說泰勒是如何通過這個定理破解老美原子彈威力的吧。

大師的本名叫G. I. Taylor,是數學和物理的兩把好手,被譽為20世紀最偉大的科學家之一。

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泰勒大師

他接受了這個任務,第一感覺是這個應該是流體力學方面的問題,由於他深厚的物理數學背景,很快就將這個問題轉化成幾個聯立的微分方程組。但是這些方程都是偏微分方程,在那個時代,你最多就只能用微分方程來表示這樣的物理關係,至於求解,基本上不太可能,那個時代計算機的算力還不足以來做數值解。列出這樣的微分方程並不能產生任何實質性結果。

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流體力學方程求解很困難

這個看起來不太好整啊,於是他開始另闢蹊徑,採用曲線救國的方式。突然他就想到了這個白金漢π定理,於是他做出試探性的分析。

這個照片上只有核爆開始的時間,以及這個時間的核爆球體直徑大小。照片上是6ms時,核爆球直徑就有160米了。假如威力越大,在同樣的時間裡,核爆直徑肯定比160米大了。於是他得出,核彈的爆炸半徑肯定與爆炸當量相關。毫無疑問,爆炸時間越短,爆炸直徑越大,那威力肯定就越大。

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核爆瞬間衝擊波球面

另外作為流體力學大師的泰勒還注意到一個細節,在爆炸球面內外,空氣的密度肯定也是不同的。假如外面空氣密度ρ越稀薄,那麼核爆球的膨脹速度肯定也快。泰勒又想了想,密度不就是質量/體積嘛。那現在就已經集齊了能量的基本量綱了,分別是長度L,時間T。我們來根據白金漢π定理列個式子,這裡的密度ρ的量綱是m/l的立方。

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等式2

這裡的E=1/2mV²,於是E用量綱表示就是E=ML²/T²,密度ρ用量綱表示,ρ=M/L³。時間t量綱就是T。當然你也可以把E放在等式的左邊,只要保證兩邊量綱一致就行。

於是我們把兩邊的量綱統一起來,就得到

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等式3

很顯然,從量綱守恆的概念出發,我們就可以列舉出一個關於x,y,z的方程組。

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等式4

由(4)式就能得到,x=1/5,y=-1/5,z=2/5。把這個結果帶到(2)式中,於是我們就得到爆炸當量的表示式了。

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等式5

這裡的C是一個常係數,我們暫且認為是1,這裡的R,t都是照片已知的,至於空氣密度更是一個爛大街的引數。ρ=1.2kg/m³。於是下面大招就出現了

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等式6

而1噸TNT的爆炸能量也是一個已知量為4×10^9 j,於是這個原子彈爆炸當量大概相當於2.5萬噸TNT的當量,而美國人爆炸的第一顆原子彈的真實當量是2.1萬噸TNT!當時老美就震驚了,自己絕密的資料是怎麼洩露出去的,難道是內部出現了間諜?

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祕密到底是怎麼洩露的?

1947年,蘇聯科學家 L.I.Sedov也獨立進行了這樣的研究,當時他是蘇聯原子彈研製委員會的成員,但是他並沒有保密,而是直接發表在公開的學報上了。於是,全世界都知道了原子彈的當量在萬噸級TNT當量左右。話說回來,當初那個決定發表照片的編輯一定感到痛心疾首,發照片就發照片,我加時間戳幹嘛?

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蘇聯核物理學家 L.I.Sedov

在泰勒做的這個研究裡,他沒有用到任何複雜的方程,甚至沒有用到一點高階的物理學知識。僅僅只是密度,體積這些基本物理量就解決了一個被認為是絕密的資料。可見白金漢π定理在解決某些問題上帶來的某些獨到的便利。

當然這個定理的運用也非常需要技巧,不是說任何一個物理系統就可以隨便使用。比如,泰勒憑什麼就認為空氣密度也會影響到爆炸當量值呢?那都是在充分了解物理問題本質的前提下才下的結論。而這些都是非常需要深厚的學識的,稍不留心就會誤入歧途,得出的結論牛頭不對馬嘴。

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必須要充分了解系統內容才可以試探性使用白金漢π定理

所以白金漢π定理更像是在你用常規方法都不能有效解決問題的前提下,給你提前準備另外一把可能解決的祕密武器。但是怎麼運用還是要看你本身的造化和能力了。所以,年輕人,還是好好學習,或許哪天你真的就可以用這個神奇定理去解決一個看似不可能完成的問題!

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